Решение задач на тему: Исследование антипростых чисел и их свойств. Задачи об антипростых числах

Введение

На XI Республиканском турнире юных математиков, проходившем в декабре 2009 года в Минске, одной из исследовательских тем была задача об антипростых числах.

Цель данной работы - изучить антипростые числа и их свойства. При выполнении работы были решены поставленные на турнире задачи об антипростых числах, а также предложены и исследованы свои вопросы по данной теме. Объект исследования - антипростые числа. Назовем натуральное число антипростым, если каждый его простой делитель входит в его разложение на множители с показателем, большим 1. Назовем натуральное число антипростым порядка р (р Î N), если каждый его простой делитель входит в его разложение на множители с показателем не меньшим, чем р. Назовем два натуральных числа взаимно антипростыми, если их наибольший общий делитель является антипростым числом. Антипростые числа являются естественным обобщением фигурирующих в проблеме бельгийского математика Э. Каталана правильных степеней (1844 г.), которую пытались решать такие выдающиеся математики как Лео Гебракус, Френикль де Бесси, Л. Эйлер, В. А. Лебег, Т. Нагель и др. В 2003 году румынский математик П. Михайлеску доказал справедливость гипотезы Каталана. Тематика данной исследовательской работы является достаточно новой. При проведении анализа источников информации непосредственно ссылок на задачу об антипростых числах в такой постановке было найдено две - это статья В. Сендерова, Б. Френкина "Гипотеза Каталана" в журнале "Квант" № 4 2007 года и задача М2032 об антипростых числах - близнецах В. Сендерова из того же журнала. В процессе выполнения данной работы потребовались более углубленные знания по теории чисел, которые были получены из таких источников информации, как Оре О. "Приглашение в теорию чисел", Виноградов И.М. "Основы теории чисел" и др.

Оглавление

- Введение

- Исследование антипростых чисел и их свойств

- Задачи об антипростых числах

- Исследование количества антипростых чисел среди натуральных чисел

- Исследование частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел

- Обобщения об антипростых числах Заключение

- Список использованных источников и литературы

- Приложения

Заключение

В процессе выполнения данной работы были решены задачи, предлагаемые на XI турнире юных математиков, и получены следующие результаты.

Для исследования антипростых чисел была разработана программа на Паскале, которая вычисляет антипростые числа. В Приложении А представлена таблица антипростых чисел на отрезке до . В принципе программа позволяет повысить значение n до большей величины, а также дает ответ, что среди чисел на отрезке до 3136000000 троек антипростых чисел вида n 1, n, n 1 не найдено.

При исследовании количества антипростых чисел были проведены сравнения значений функции (n) с функцией, которые показали, на отрезке до n420000 (n), а далее (n), причём процент ошибки небольшой. Так как вначале (n), то процент ошибки убывает, после n420000 он начинает возрастать, и при n2000000 он приблизительно равен 2%.